| ABE Takeshi |  |
| Faculty of Science and Engineering Department of Mathematical Sciences | |
| Professor |
Last Updated :2025/04/28
Researcher Profile and Settings
researchmap
Research Interests
Research Areas
Research Experience
- Doshisha University, Faculty of Science and Engineering Department of Mathematical Science, 教授, 2025/04 - Today
- Kumamoto University, Faculty of Advanced Science and Technology, Professor, 2023/04 - 2025/03
- Kumamoto University, Faculty of Advanced Science and Technology, Associate Professor, 2016/04 - 2023/03
- Kumamoto University, Graduate School of Science and Technology Graduate School of Science and Technology, Associate Professor, 2009/04 - 2016/03
Education
Degree
Published Papers
- Subvarieties of geometric genus zero of a very general hypersurface
Takeshi Abe
Algebraic Geometry, Foundation Compositio Mathematica, 10(1) 41 - 86, 01 Jan. 2023, Scientific journal - Semistable sheaves with symmetric c1 on Del Pezzo surfaces of degree 5 and 6
Takeshi Abe
European Journal of Mathematics, 7 526 - 556, Jun. 2021, Scientific journal - A note on strange duality for holomorphic triples on a projective line
ABE Takeshi
manuscripta mathematica, 159 363 - 377, Jul. 2019, Scientific journal - SEMISTABLE SHEAVES WITH SYMMETRIC c(1) ON A QUADRIC SURFACE
Takeshi Abe
NAGOYA MATHEMATICAL JOURNAL, CAMBRIDGE UNIV PRESS, 227 86 - 159, Sep. 2017, Scientific journal - Strange Duality for Height Zero Moduli Spaces of Sheaves on P-2
Takeshi Abe
MICHIGAN MATHEMATICAL JOURNAL, MICHIGAN MATHEMATICAL JOURNAL, 64(3) 569 - 586, 2015, Scientific journal - Moduli of oriented orthogonal sheaves on a nodal curve
Takeshi Abe
Kyoto Journal of Mathematics, 53(1) 55 - 90, Mar. 2013, Scientific journal - DEFORMATION OF RANK 2 QUASI-BUNDLES AND SOME STRANGE DUALITIES FOR RATIONAL SURFACES
Takeshi Abe
DUKE MATHEMATICAL JOURNAL, DUKE UNIV PRESS, 155(3) 577 - 620, Dec. 2010, Scientific journal - PROJECTIVE NORMALITY OF THE MODULI SPACE OF RANK 2 VECTOR BUNDLES ON A GENERIC CURVE
Takeshi Abe
TRANSACTIONS OF THE AMERICAN MATHEMATICAL SOCIETY, AMER MATHEMATICAL SOC, 362(1) 477 - 490, Jan. 2010, Scientific journal - THE MODULI STACK OF RANK-TWO GIESEKER BUNDLES WITH FIXED DETERMINANT ON A NODAL CURVE II
Takeshi Abe
INTERNATIONAL JOURNAL OF MATHEMATICS, WORLD SCIENTIFIC PUBL CO PTE LTD, 20(7) 859 - 882, Jul. 2009, Scientific journal - Degeneration of the strange duality map for symplectic bundles
Takeshi Abe
JOURNAL FUR DIE REINE UND ANGEWANDTE MATHEMATIK, WALTER DE GRUYTER & CO, 631 181 - 220, Jun. 2009, Scientific journal - Compactification of the symplectic groupvia generalized symplectic isomorphisms
ABE Takeshi
RIMS Kokyuroku Bessatsu, Kyoto University, 9 1 - 50, 2008, Scientific journal - Strange Duality for Parabolic Symplectic Bundles on a Pointed Projective Line
Takeshi Abe
INTERNATIONAL MATHEMATICS RESEARCH NOTICES, OXFORD UNIV PRESS, 2008, Scientific journal
Presentations
- Subvarieties of geometric genus zero of a very general hypersurface
Takeshi Abe
TIFR Algebraic Geometry seminar (online), 24 Sep. 2021
Research Projects
- 代数的層のモジュライの研究
阿部 健
代数多様体上の有理曲線を調べることは重要である．代数多様体がファノ多様体である場合には，その幾何学的構造を調べる手段として有理曲線が用いられる．一方，代数多様体が一般型の場合は，双極性の観点から有理曲線の存在の研究が重要となる．というのも，完備代数多様体が双極的とは，複素平面からの非定値正則写像を有しないことであるから，特に双極的な完備代数多様体は有理曲線を持たない．特定の代数多様体が双極的か否かを判定することは一般には容易ではないが，それの代数的類似である，有理曲線を持つか否か，は比較的取り組みやすい問題となる． 有理曲線の高次元への一般化と見なせるものは多々あるが，そのうちの一つとして，幾何種数が零の多様体がある．そこで上述の双極性の観点から，代数多様体が幾何種数零の部分多様体を含むか，もし含むとしたらどの様なものか，が研究課題として考えられる．その一つの場合として，n次元射影空間内の十分一般なd次超曲面は幾何種数零の部分多様体をもつか，という問題に関して，Clemens-Ranはdが3n/2以上のときそのような幾何種数零の部分多様体は超曲面に含まれる射影直線の和集合に含まれることを示した．本研究者は昨年度，この結果を発展させて，dが7n/5以上の場合，十分一般なd次超曲面内の幾何種数零の部分多様体は射影直線と2次曲線の和集合であることを示した． 本年度は，昨年度の研究を引き継ぎ，超曲面内の2次曲線のなすモジュライの連結性についてまず考察した．また，Clemens-Ranの超曲面に対する結果の完全交差の場合への一般化について研究した．, 日本学術振興会, 科学研究費助成事業, 2018/04 -2023/03, 基盤研究(C), 熊本大学 - Birational geometry of moduli spaces of algebraic sheaves
ABE Takeshi
There is a theta divisor on the Picard group, the set of linear equivalence classes of divisors, of a compact Riemann surface. As a ``non-abelian analogue’’, we have a generalized theta divisor on the moduli space of algebraic vector bundles on a compact Riemann surface. A global section of the line bundle associated with a generalized theta divisor is called a generalized theta function. We have an interesting phenomena called Strange duality about generalized theta functions. It is conjectured that we also have Strange duality phenomena for moduli spaces of sheaves on projective surfaces. I once proved partially the strange duality conjecture for projective plane. In this research, continuing the preceding research, I proved some cases of the strange duality conjecture for a quadric surface., Japan Society for the Promotion of Science, Grants-in-Aid for Scientific Research, 2015/04 -2018/03, Grant-in-Aid for Scientific Research (C), Kumamoto University - Moduli spaces of algebraic varieties and self-morphisms
Mukai Shigeru; UEDA Tetsuo; NAKAYAMA Noboru; NAMIKAWA Yoshinori; KAWAGUCHI Shu; ABE Takeshi; NASU Hirokazu; OHASHI Hisanori; MA Shohei; WANDEL Marte; KIM Kyounghee; DOLGACHEV Igor; ALLCOCK Daniel; HEDEN Isac; SANNAI Akiyoshi
Adding to the key concept “self-morphism” to the study of algebraic varieties, we obtained many of findings in these five years. Among them we introduced the virtual cohomological dimension in the study of infinite discrete automorphism groups of Enriques surfaces. Hopefully this will stimulate two fields, algebraic geometry and discrete groups. Since Enriques surfaces mildly degenerate to rational surfaces, this has an application to the Cremona group of two variables. The study of nine mirror families of Enriques surfaces was developed by Mukai and Ohashi more than expected. Oguiso and his collaborators constructed primitive 3-fold automorphisms of positive entropy and a remarkable projective algebraic surface whose automorphism group is discrete but not finitely generated. The study of analytic torsion of K3 surfaces with involution was also much developed by Yoshikawa and Ma., Japan Society for the Promotion of Science, Grants-in-Aid for Scientific Research, 2013/05 -2018/03, Grant-in-Aid for Scientific Research (S), Kyoto University - Developments in Interactions between Algebraic Geometry and Integrable Systems
Saito Masa-Hiko; NORO Masayuki; KOIKE Tatsuya; INABA Michi-aki; MORI Shigefumi; MUKAI Shigeru; IWASAKI Katsunori; KANEKO Masanobu; HARAOKA Yoshishige; NAMIKAWA Yoshinori; ISHII Akira; FUJINO Osamu; HOSONO Shinobu; MATSUSHITA Daisuke; ABE Takeshi; IRITANI Hiroshi; TODA Yukinobu; NAKAJIMA Hiraku; NAKAMURA Iku; TANIGUCHI Takashi; ONO Kaoru; ROSSMAN Wayne; MITSUI Kentaro; SANO Taro
We established the geometric Painleve property of nonlinear differential equations for isomonodromic deformations of connections with generic unramified irregular singularities and regular singularities with fixed spectral types. We also established theory of Mixed twister D-modules and developed several geometric theories for integrable systems. As for higher dimensional algebraic geometry, certain types of extremal contractions of 3-dimensinal terminal varieties were classified in detail. Fujino proved that canonical rings of compact Kahler manifolds are finitely generated. Several results for symplectic varieties, moduli theory were obtained in our research projects. Mathematical foundations of Quantum cohomology rings were developed by the group of Fukaya, Ono and others. Several developments of mirror symmetry, including the case of toric Calabi-Yau varieties, are obtained. We also obtained several important results on derived categories of sheaves on algebraic varieties., Japan Society for the Promotion of Science, Grants-in-Aid for Scientific Research, 2012/05 -2017/03, Grant-in-Aid for Scientific Research (S), Kobe University - Study of moduli of algebraic vector bundles
ABE Takeshi
There is a mysterious phenomenon called ``strange duality’’ in the study of moduli spaces of semistable sheaves on projective varieties. This is a phenomenon where the vector spaces of global sections of certain line bundles on certain two moduli spaces. In the case of curves, most strange dualities have been settled, but in the case of surfaces, there remain unsolved problems. In this study, we gave proofs to some cases of strange dualities for the projective plane and K3 surfaces. We also proved a factorization theorem for the spaces of generalized theta functions on the moduli of special orthogonal bundles., Japan Society for the Promotion of Science, Grants-in-Aid for Scientific Research, 2011/04 -2015/03, Grant-in-Aid for Young Scientists (B), Kumamoto University - Constructions and developments of geomerty on moduli spaces and arithmetic varieties
MORIWAKI Atsushi; MUKAI Shigeru; NAKAJIMA Hiraku; NAMIKAWA Yoshinori; YOSHIKAWA Kenichi; MOCHIZUKI Takuro; YOSIOKA Kota; KAWAGUCHI Shu; FUJINO Osamu; ABE Takeshi; INABA Michiaki
Our six teams made international and surprising progresses of constructions and developments on geometries on moduli spaces and arithmetic varieties. For example, Prof. Mochizuki, who is a member of this research project, was elected as a plenary speaker of Soul International congress of Mathematicians 2014. Moreover, we supported the intercity seminars between Paris, Barcelona and Kyoto by this project. We could produce a lot of significant international researches such as joint works of Moriwaki and H. Chen at Fourier Institute, Grenoble University., Japan Society for the Promotion of Science, Grants-in-Aid for Scientific Research, 2010/04 -2015/03, Grant-in-Aid for Scientific Research (A), Kyoto University - Study of vector bundles using the theory of complexes
YOSHIOKA Kota; NOUMI Masatoshi; YAMADA Yasuhiko; SAITO Masahiko; NAKAJIMA Hiraku; ABE Takeshi
I studied moduli of Bridgeland stable objects on an abelian or a K3 surface. In particular, I proved that moduli spaces are projective varieties, and studied birational properties of the spaces. I also apply these results to the classification of vector bundles on abelian surfaces. I also proved the Witten conjecture of Donaldson invariants for algebraic surfaces., Japan Society for the Promotion of Science, Grants-in-Aid for Scientific Research, 2010/04 -2014/03, Grant-in-Aid for Scientific Research (B), Kobe University - Study of Moduli of algebraic vector bundles
ABE Takeshi
I studied on the strange duality of generalized theta functions on moduli spaces of vector bundles. I described the behavior of the strange duality map for symplectic bundles as the base curve degenerates to a singular curve, and proved the strange duality conjecture for symplectic bundles. By considering quasi-bundles on a projective plane, I proved a special case of Le Potier's strange duality conjecture. I also computed the dimension of generalized theta functions on the moduli spaces of pure one-dimensional sheaves of degree four., Japan Society for the Promotion of Science, Grants-in-Aid for Scientific Research, 2008 -2010, Grant-in-Aid for Young Scientists (B), Kyoto University - Fano varieties and moduli spaces with emphasis on the Verlinde Formula and the 14^
problem of Hilbert
MUKAI Shigeru; MORI Shigefumi; NAKAYAMA Noboru; ABE Takeshi; NAKAMURA Iku; KURANO Kazuhiko; YOSHIOKA Kota; TAKEUCHI Kiyohiko; TAKAGI Hiromichi; IDE Manabu; MORI Shigefumi; NAKAYAMA Noboru; ABE Takeshi; NAKAMURA Iku; KURANO Kazuhiko; YOSHIOKA Kota; TAKEUCHI Kiyohiko; TAKAGI Hiromichi; IDE Manabu
代数多様体の中には、曲線、K3曲面とファノ多様体という3つの良い族がある.これらは単独でも興味深いが、互いにモジュライという関係で繋がっていることを観察することによって、より深い理解に到達できると思う.今回の研究課題では、フェアリンデ型公式との関係や不変式環への応用から研究を始めて、エンリケス曲面の位数2のある種の自己同型や偏極K3曲面のモジュライの単有理性問題への応用を研究した.また、Mumfordのpathologyとして有名な現象をよく理解するために、3次元多様体内の曲線の変形に対する障害類が消えないための充分条件についても研究した., Japan Society for the Promotion of Science, Grants-in-Aid for Scientific Research, 2005 -2008, Grant-in-Aid for Scientific Research (B), Kyoto University代数的ベクトル束のモジュライの研究
阿部 健
代数曲線上の直線束のモジュライ上には、テータ因子かある。これの類似で、代数曲線上のベクトル束のモジュライ上には、一般テータ因子がある。n, kを自然数とする。階数nのベクトル束のモジュライ上のレベルkの一般テータの空間と、階数kのベクトル束のもジュラ以上のレベルnの一般テータの空間の間には、strange dualityと言われる双対性がある。これは、BelkaleとMarian-Opreaによって証明された。Beauvilleは、シンプレクティック束のモジュライに対して、strange dualityを定式化した。こちらは未だ証明されていない。 本年度の研究成果は、このstrange dualityのシンプレクティック類似に関するものである。具体的にはまず、Beauvilleによって定式化されたシンプレクティック束に対するstrange dualityを放物型に拡張した。これは、曲線を退化させてstrange dualityを考察する際に必要な一般化である。そして、種数が零の場合に正しければ一般の場合にも正しい、ことを曲線の退化の手法を用いて証明した。その証明の過程で、特異点を持った代数曲線上のシンプレクティック束のモジュライのコンパクト化を考察し、一般テータ因子の空間に対する分解定理を証明した。これは、正規化した曲線上のシンプレクティック束のなすモジュライ上の一般テータの空間と元の一般テータの空間を比較するもので、strange dualityを退化の手法で考察する際に、とても大切な結果である。 以上の結果をRIMS preprintにまとめた。, 日本学術振興会, 科学研究費助成事業, 2005 -2007, 若手研究(B), 京都大学低次超曲面の代数幾何と有限単純群
向井 茂; 金銅 誠之; 阿部 健; 井出 学
「有限群GがK3曲面にsymplecticに作用できることは,Mathieu群M_<23>の部分群であってその作用域を4個以上の軌道に分割することと同値である」という向井の結果(1988年)を非特異cubic 4-foldに拡張することを主に考えた.これの背景にはcubic 4-fold内の直線全体が4次元holomorphic symplectic manifoldというK3曲面の自然な拡張になっているという事実がある. 非特異cubic 4-foldへのsymplecticな作用はMathieu型と非Mathieu型に大別される.後者は別の取り扱いができ,前者はK3曲面に類似している.今年度の研究においてはMathieu型に作用できる有限群は8次交代群の部分群かMathieu群M_<11>の部分群と同型であろうという予想に達するこどができた.有限単純群に限ればこれは正しい.実際,5,6,7次交代群とChevaley群L_2(7),L_2(11)しかない.2_群に関する強い制約があるので,この予想の証明は時間の問題であると思う. 非特異cubic 4-foldにMathieu的に作用できる有限群で極大なものを分類できる見通しも立った.Mathieu群M_<10>(6次交代群の2次拡大)の作用やFermat型cubic 4-foldの自己同型群で興味深いことも分かった. 自己同型に関する別の研究としてはEnriques曲面に数値的に自明に作用するinvolutionの研究を復活させた.結果は浪川氏との共著論文(1984年)の訂正として発表する予定である.これに関しては立教大学の塩田氏や研究分担者の金銅氏から有益な助言をいただいた.また,京都大学数理解析研究所修士の大橋君が最近これに関係する研究をしている. 有理曲面の(無限)自己同型群についても研究を続けた.これはCastelnuovoの有理性判定定理やEnriques・小平分類といった代数曲面の基礎理論と大いに関係することで,それらに関するノートを作り数理解析研究所の代数幾何学修士セミナーで使ってみた.同様の内容を名古屋大学で3回の集中講義を行った.代数曲面に関する単行本の一部という形での発表を計画している., 日本学術振興会, 科学研究費助成事業, 2003 -2004, 萌芽研究, 京都大学